编者注：原文作者是以太坊联合创始人Vitalik Buterin，在这篇文章中，他介绍了二次方投票（ Quadratic voting）及二次方支付（Quadratic Payment）的概念及应用，他表示，如果目标是优化人们想要看到的东西，而不是纯粹满足富人和集权机构，那这种机制必然对我们大有裨益。
特别感谢Karl Floersch以及Jinglan Wang的反馈：
如果你一直在研究应用机制设计或者去中心化治理，那么你最近可能会听到几个流行语：二次方投票（quadratic voting）、二次方融资（quadratic funding）以及二次方关注购买（quadratic attention purchase）。
这些想法在过去几年里迅速流行了起来，小规模的测试也已经在展开：台湾的presidential hackathon活动就使用了二次方投票机制来为项目进行投票，Gitcoin Grants使用二次方融资机制来资助以太坊生态系统中的的公共产品，科罗拉多民主党也试验用二次方投票来决定他们的政纲。
对这些投票计划的支持者而言，这不仅仅是对现有制度的一个小小改进。相反，这是对一种全新社会技术的初步尝试，这种技术有可能颠覆许多大大小小的公共决策。这些全面推行计划的最终效果，可能与工业时代的自由市场（注：译者这里和谐了一个词）一样具有深刻的变革性。但现在，你可能会想：“这些都是大的许诺，有什么理由，能够证明这些新的治理技术能够实现这种说法？”
一、私人物品和私人市场
为了理解正在发生的事情，让我们先考虑一下现有的社会技术：金钱和财产权利——无形的社会技术，通常隐藏在金钱背后。货币和私有财产是极为强大的社会技术，这也是古典经济学家一百多年来一直在说的。如果鲍勃在生产苹果，而爱丽丝想买苹果，我们可以经济地模拟两者之间的相互作用，而结果似乎是有意义的：
爱丽丝一直在买苹果，直到她想买的下一个苹果的边际价值，低于生产苹果的成本，这几乎是可能发生的最理想的事情。如果生产苹果的成本，要大于它们对爱丽丝的价值，那爱丽丝就不会买它：
这都是形式化的结果，如“福利经济学的基本定理”。现在，你们这些学过经济学的人可能会尖叫，不完全竞争呢？信息不对称？经济不平等？公共物品？外部性？现实世界中的许多活动，包括那些对人类文明进步至关重要的活动，以复杂的方式造福（或伤害）了许多人。这些活动和由此产生的后果，往往不能被巧妙地分解为双方之间不同的交易序列。
但从何时起，我们就指望用一套技术来解决所有问题了呢？这不是一场反对汽车的争论，而是一场反对汽车极端主义的争论，我们需要的是汽车，而不是其他东西。就像私人财产和市场如何处理私人物品一样，我们能否尝试用经济手段推断出哪种社会技术能够很好地促进我们所需公共物品的生产呢？
二、公共物品和公共市场
在一些关键方面，私人物品（如苹果）与公共物品（如公园、空气质量、科学研究、本文……）是不同的。当我们谈论私人物品时，多人的生产（例如，同一个农民同时为爱丽丝和鲍勃生产苹果）可分解为（i）农民为爱丽丝生产一些苹果，和（ii）农民为鲍勃生产一些苹果。如果爱丽丝想要苹果，而鲍勃不想要，那么农民就给爱丽丝一些苹果，然后向爱丽丝收钱，而这和鲍勃无关。
即使是复杂的合作，也可以分解成一系列这样的互动。然而，当我们谈论公共物品时，这种分解是不可能的。当我写这篇博客文章时，爱丽丝和鲍勃（以及其他人）都能读到。我可以把它放在付费墙后面（指收费阅读），但如果它足够流行，它将不可避免地出现在第三方网站上，而且付费墙在任何情况下都是烦人的，不是很有效。此外，把一件物品提供给十个人，并没有把它提供给一百个人便宜十倍。相反，成本是完全相同的。所以，我要么为每个人写文章，要么根本不给任何人写。
因此，我们面临的挑战是：如何将人们的偏好聚集在一起？一些私人和公共物品值得生产，另一些则不值得。就私人物品而言，这个问题很容易解决，因为我们可以把它分解成一系列的决定。不管每个人愿意支付多少，都会为他们付出那么多，这里涉及的经济学并不是特别复杂。然而，在公共物品的情况下，你不能进行“分解”，所以我们需要用不同的方式来汇总人们的偏好。
首先，让我们看看，如果我们只是建立一个普通的旧市场会发生什么：只要有人捐至少1000美元给我，我就愿意写一篇文章（有趣的事实是：我在2011年确实是这么干的）。捐赠的每一美元，都会增加实现目标和发表文章的概率，我们称之为“边际概率”p。以k美元为代价，你可增加文章发表的概率是k * p（尽管随着概率接近100%，最终收益会减少）。假如我们对你说，正在发表的这篇文章值V美元，你会捐赠吗？好吧，捐赠一美元会增加p的可能性，所以会给你一个预期的p * V值。如果p*V>1，你就会捐赠，而且是很多，但如果 p*V<1，你根本就不会捐赠。
用较少的数学术语来说，要么你是足够重视这篇文章（或者你本人就是足够富有的），这样你才会为此而进行支付，而如果你不够重视这篇文章，那你不会对此进行任何的贡献。
因此，唯一发表的博客文章，将是一些受少数人捐赠的文章（在我2011年的实验中，这一预测得到了实验验证：在大多数的捐赠中，超过一半是来自同一位捐赠者）。
请注意，这种推理适用于任何涉及在公众关注事项上“购买影响力”的机制。这包括为公共物品买单、公司股东投票、公共广告、贿赂政客等等。 这就好比说，这个小家伙的影响力太小（不完全是零），因为在现实世界中存在利他主义之类的东西，而这个大个子的影响力却非常大。
我们还可以考虑另一种机制：一人一票制。假设你可以投票给我写这篇文章应得的报酬，也可以投票给我不应得的报酬，而我的报酬与投给我的赞成票成正比。
我们可以这样解释：你的第一个“贡献”只需要花费很少的努力，所以如果你足够关心一篇文章，你会去支持它，但在那之后，就没有更多的空间进一步贡献了，也就是说，你第二次贡献的代价是“无限”的。
现在，你可能注意到上面的两个图看起来都不对。第一个图赋予了那些关心很多（或富有）的人过多的权力，第二个图则赋予了不怎么关心的人过多的权力，这也是一个问题。我们说，与两只狼对美味晚餐的渴望相比，一只羊对生命的渴望要显得更为重要。
但我们到底想要什么？最终，我们想要的是这样一个计划：你“购买”的影响力与你关心的程度成正比。在上面的数学术语中，我们希望k与V成正比，但问题是：V决定了你愿意为一个影响力单位付出多少。
如果爱丽丝认为文章价值100美元，而她必须为此而进行资助，那么她愿意以支付1美元的代价来增加文章1%的发表机会，而如果鲍勃认为文章只价值50美元，那么他只愿意支付0.5美元来换取同一个“影响力单位”。
那我们怎样将它们匹配起来呢？答案很聪明：你的第n个影响力单位，要花掉你n*单位美元。例如，你可以用0.01美元买第一张票，但第二张票要0.02美元，第三张票要0.03美元，以此类推。
假设你是上面例子中的爱丽丝，在这样一个系统中，她会一直购买影响力单位，直到下一个单位的成本达到1美元，所以她会购买100个单位。鲍勃也会买，直到成本达到0.5美元，所以他会买50个单位。爱丽丝2倍高的估值，变成了2倍的影响力单位购买。
让我们把它画成一个图表：
现在让我们来看看这三者彼此之间的关系：
注意，只有二次方投票才有这样一个好的特性，即：你购买的影响力大小与你关心的程度成正比。而另外两种机制，要么是对特权有益，要么是对特权非常不利。 现在，你可能会问，这个二次曲线是从哪里来的？好吧，第n次投票的边际成本是n*单位美元（或0.01* n美元），但是n次投票的总成本大约是{n^2}{2}。可以按以下几何方式查看：
总成本是一个三角形的面积，你可能在数学课上已经学到了：面积是基数*高度/2。因为这里的基数和高度是成比例的，这基本上意味着总成本与票数平方成比例，因此是“二次方”。但老实说，人们更容易认为“你的第n个影响力单位需要花费n*单位美元”。
最后，你可能会注意到上面我对“一个影响力单位”的实际定义是模糊的，这是深思熟虑的结果，它在不同的环境中可能意味着不同的事情，而二次方支付则反映了这些不同的观点。
三、二次方投票
参见原论文：
让我们从探索二次方支付的第一个应用开始：二次方投票。想象一下，某个组织正试图在两个选择中做出影响其所有成员的某个决定。例如，这可能是一家公司（或一家非营利性机构）决定在城镇的哪一片区域设立一个新办公室，或是一个政府决定是否执行某些政策，又或者是一个互联网论坛决定其规则是否允许讨论加密货币价格。
这似乎是二次方投票的一个完美目标。目标是，如果总体上大家更喜欢A，那就选择A，如果更喜欢B，那就选择B。简单的投票（“一人一票”）忽略了强弱偏好之间的区别，因此，在一方对少数人具有很高价值，而另一方对更多人具有很低价值的问题上，简单的投票很可能给出错误的答案。有了私人物品市场机制，人们可以以同样的价格购买任意多张选票，拥有最大偏好（或最富有）的个人就拥有了一切。而二次方投票，你可以在任何一个方向上投n票，而代价则是n的平方，正好在这两个极端之间创造了完美的平衡。
注意，在投票的情况下，我们决定两个选项，所以不同的人会倾向于A而不是B，或者倾向于B而不是A。因此，与我们之前看到的从零开始的图表不同，这里的投票和偏好既可以是正的，也可以是负的（哪个选项被认为是正的，以及哪个是负的，这并不重要，因为计算结果是一样的。）
如上所示，因为第n次投票的成本为n，所以你投的票数与你对决定的影响单位的评价成正比，与你有多在乎A被选中而不是B成正比，反之亦然。因此，我们又一次有了这种干净的“偏好增加”的效果。
我们可以用多种方法扩展二次方投票。首先，我们可允许在两个以上的选项之间进行投票。由于阿罗不可能（Arrow）定理和迪维尔热（Duverger）定律的存在，传统的投票方案不可避免地会陷入各种“战略投票”问题，而在有两个以上选择的情况下，二次方投票仍然是最优的。
“对那些感兴趣的人来说，直观的论据是：假设有既定的候选人A和B，还有新的候选人C。有些人赞成C>A>B，而另一些人则赞成C>B>A。在常规投票中，如果双方都认为C没有机会，他们决定不妨在A和B之间投票，这样C就得不到选票，而C的失败就变成了自证预言。在二次方投票中，前一组会投票 [A +10, B -10, C +1] ，后一组投票[A-10，B+10，C+1]，因此，A和B的投票被取消，C的受欢迎程度也随之提高。”
其次，我们不仅可以考虑在离散选项之间进行投票，还可以考虑对恒温器设置的投票：任何人都可以通过支付n^2的的成本，将恒温器上下推动0.01度n次。
想要变冷的一方，只有在说服另一方"C" 代表“热”时才会获胜
四、二次方融资
参见原论文：
当你需要做一些固定数量的集体决策时，二次方投票是最优的。但是，二次方投票的一个缺点在于，它没有一个内置的机制来决定投票的第一结果。如果不小心处理，提议投票可能是相当大的权力来源：控制投票权的恶意行为者，可以反复提出一些多数人微弱赞成、少数人强烈反对的决定，然后继续提议，直到少数人用完投票token（如果你做数学运算，你会发现少数人会比多数人更快地烧掉token）。让我们考虑一种二次方支付的例子，而它不会遇到这个问题，并且使决策的选择本身是内生的（即机制本身的一部分）。在这种情况下，该机制专门用于一个特定的用例：公共物品的单独提供。
让我们举一个例子，有人想创造一个公共物品（例如开发人员编写了一个开源软件程序），我们想弄清楚这个程序是否值得资助。但是，与其只考虑一个公共物品，不如建立一个机制，让任何人都可以为他们声称是公共物品的项目筹集资金。任何人都可以对任何项目做出贡献，一个机制会跟踪这些贡献，然后在某个时间段结束时，该机制会计算对每个项目的付款。这种支付的计算方法如下：对于任何给定的项目，取每个贡献者贡献的平方根，将这些值相加，然后取结果的平方。
即下面这个公式：
(sum_{i=1}^n sqrt{c_i})^2
如果这个公式看上去有些复杂，那么下面是直观的图形化表达：
在任何情况下，如果有一个以上的供款人，计算出的支付额都大于原始供款总额；差额来自中心补贴池（例如，如果10个人每个捐赠1美元，那么平方根的总和是10美元，然后再进行平方计算就是100美元，所以补贴就是90美元）。
请注意，如果补贴池不够大，不足以支付每个项目所需的全部款项，我们只需将补贴按比例除以任何常数，使总数加在补贴池的预算中；你可以证明，这解决了公地悲剧问题，你也可以使用补贴预算。
有两种方法可以直观地解释这个公式。首先，我们可通过“修复市场失败”镜头来看待它，这是对公地悲剧的外科手术。在爱丽丝为一个项目做贡献，而鲍勃也为同一个项目做贡献的情况下，爱丽丝都在为对双方都有价值的事情做贡献。而当决定贡献多少时，爱丽丝只会考虑对自己的好处，而不会涉及到鲍勃，她很可能根本不知道鲍勃的存在。而二次方融资机制，增加了一项补贴来补偿这一影响，决定了如果爱丽丝也考虑到自己的贡献会给鲍勃带来的好处，她将“贡献”多少。此外，我们可以分别计算每对人的补贴（注：如果有N个人，则有N*（N-1）/2对），并将所有这些补贴相加，然后从所有对中给Bob综合补贴。事实证明，这正好给出了二次方融资公式。
其次，我们可以通过二次方投票镜头来研究这个公式。我们将二次方融资解释为二次方投票的一种特殊情况，即一个项目的出资人对该项目投了票，而有一个虚构的参与者投了反对票：补贴池。每一个“项目”都是一个从补助池中拿钱给项目创建者的动议。每个发送c_i资金的人，都投了sqrt{c_i}票，因此总共有 sum_{i=1}^n sqrt{c_i}票赞成这项动议。
若要终止该动议，补贴池将需要对其投超过sum_{i=1}^n sqrt{c_i}张反对票，这将比(sum_{i=1}^n sqrt{c_i})^2付出更多的代价。因此，(sum_{i=1}^n sqrt{c_i})^2是从补贴池到补贴池不会投票停止项目的最大转移。
目前，已有人在探索二次方融资机制的应用， Gitcoin grants在以太坊生态系统中进行的公共物品资助就是最好的例子，在我个人看来，这为支持社区认为有价值的项目做了相当好的分配。
白色数字是原始贡献总数，绿色数字是额外补贴。
五、二次方关注支付
参见原帖：
人们对现代资本主义又爱又恨的一个重要特征就是广告，我们的城市有广告，我们的地铁站旋转栅门上也印有广告，而美国的政治也是由广告所主导，甚至连河流和天空也都布满了广告，当然，也有些地方似乎没有了这个问题，但实际上，他们也只是有着一种不同的广告：
最近，也有人试图在一些城市去做一些去广告的事情，或者是在推特上。让我们系统地去看待这个问题，并试着找到问题根源。答案其实出人意料地简单：公共广告是伴随公共物品而生产的邪恶孪生兄弟。就公共物品生产而言，有一个行为体承担着生产某种物品的支出，而这种物品会使大量人受益。因为这些人不能有效地协调自己为公共物品买单，我们得到的公共物品比我们需要的要少得多，而我们得到的公共物品，正是那些富有的行动者或中央集权机构青睐的。在这里，有参与者从强迫别人看某个形象中获得了很大的好处，而这个动作伤害了很多人。因为这些人无法协调购买广告位，呈现在我们面前的是我们不想要看到的广告，而它们是由富有的人或中央集权机构提供的。
那么，我们如何解决这种公共物品生产出来的黑暗镜像呢？通过二次方融资的光明镜像：二次方费用！想象一下一个广告牌，任何人都可以花1美元贴一分钟的广告，但如果有人想要多次做广告，那么价格就会上涨几倍：第二分钟2美元，第三分钟3美元，以此类推。注意，你可以花钱在广告牌上延长别人广告的生命周期，这也只需你第一分钟花1美元，即使其他人已经多次花钱延长广告的生命周期。我们可以再次将其解释为二次方投票的一个特例：它基本上与上面的“恒温器投票”示例相同，但这里讨论的“恒温器”是指广告停留的秒数。
如果目标是优化人们想要看到的东西，而不是纯粹满足富人和集权机构，那这种支付模式可以应用于城市、网站、会议或许多其他场合。
六、复杂性与警示
对于这类二次方支付的概念，我们需考虑的最大挑战，或许是身份和贿赂/串通的实际实施问题。
任何形式的二次方支付都需要一个身份模型，在这个模型中，个人无法轻易获得他们想要的身份：如果可以，那么他们可以继续获得新的身份，并继续支付1美元，以影响他们想要的决定次数，那么这个机制就会崩溃为线性贿选。
注意，从防止多重身份获取的意义上讲，身份系统不需要是密封的，而且确实有很好的理由来说明身份系统可能不应该尝试密封。相反，它只需要足够强大，以至于操纵的代价是无法承受的。
合谋问题也很棘手。如果我们不能阻止人们抛售他们的选票，那这些机制会再次崩溃为一美元一票机制。我们不只是需要匿名和保密投票，同时还要让最终结果可证明和公开。我们需要让投票保持保密，以至于即便是投票者本身也无法向其他人证明他们投了什么票，这很难做到。无记名投票在离线世界中做得很好，但无记名投票是一项源自19世纪的技术，而对于在21世纪希望看到大量二次方投票及参与资金的我们来说，这种投票方式效率太低了。
幸运的是，有一些技术手段可以帮助到我们，将零知识证明、加密以及其它密码学技术结合起来，以获得所需的精确隐私和可验证性属性集。人们还提出了一些用于验证私钥实际上是个人拥有，而不是在某些限制私钥使用方式的硬件或密码系统的技术方案。然而，这些技术都是未经测试的，需要相当多的改进工作。
另一个挑战是，二次方支付作为一种基于支付的机制，其仍然会有利于富者。需要注意的是，由于投票成本是二次方的，因此影响会受到抑制：拥有100倍以上资金的人，只有约10倍的影响力，而不是100倍，因此，问题的严重程度会下降90%（对于超级富有者而言，这种削弱会更强）。也就是说，进一步缓解这种权力不平等，可能是可取的。
这可通过将二次方支付分别命名为每个人都有固定数量单位的token，或者给每个人分配只能用于二次方支付应用的资金来实现：这基本上是Andrew Yang的"民主美元"提议。
第三个挑战是“理性忽视”与“理性胡闹”问题，去中心化的公共决策有一个弱点，即任何一个人对结果的影响都很小，因此没有动力确保他们支持最有利于长期的决策，相反，部落关系等可能会占主导地位。而任何形式的二次方支付在解决这一问题上，都很少有帮助。
当然，在缓解这一问题上，二次方投票要比一人一票制更有用，而这些问题对于中等规模的公共物品来说，可能没有影响数百万人的重大决策那么严重，因此一开始可能不是什么大挑战，但肯定是一个值得正视的问题。
一种方法是将二次方投票与排序元素相结合，而另一种可能更长期的方法，是将二次方投票与另一种称为预测市场的经济技术相结合。
一个简单的例子是一个系统，其中二次方融资是回顾性的，因此人们在一段时间前（例如两年前）就对哪些公共物品是有价值的进行投票，而项目则是通过出售这些延期投票结果的份额而预先获得资金。通过购买权益份额，人们既可以为项目提供资金，也可以押注哪一个项目在两年后将被视为成功。这里有一个很大的设计空间可以试验。
七、结论
正如我在开头提到的，二次方支付并不能解决所有问题。它们解决了影响大量人口的资源管理问题，但它们没有解决许多其他类型的问题。一个特别重要的问题是信息不对称和信息质量普遍低下。出于这个原因，我喜欢使用诸如预测市场（例如electionbettingods.com）之类的技术来解决信息收集问题，通过将不同的机制组合在一起，可以使许多应用变得最有效。
对我个人而言，一个特别重要的原因是我所称的“企业公共物品”（目前只有少数人认为重要，但在未来会有更多人重视的公共物品）。在19世纪，为废除奴隶制做出贡献可能是一个例子，而在21世纪，我不能举出让每个读者都满意的例子，因为这些商品的性质决定了它们的重要性在以后的道路上只会成为常识，但我会指出，生命延长及人工智能风险研究，是两个可能的例子。
也就是说，我们今天不需要解决所有问题。二次方支付是最近几年才流行起来的一种想法，我们至今只看到了二次方投票和融资的小规模试验，而二次方注意支付应用根本就未曾看到！还有很长的路要走，但如果我们能让这些机制落地，那它们必然对我们大有裨益！
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