用数学改善价格预言机，一文了解恒定函数做市商（CFMM）

注：原论文由斯坦福博士生Guillermo Angeris联合Gauntlet Networks首席执行官 Tarun Chitra共同撰写，他们分析了目前市场上非常流行的、等恒定函数做市商（CFMM）项目，并证明了CFMM为套利者提供了优化，此外研究还表明，如StableSwap / Curve的示例所示，调整规则的曲率，可以提高性能和不同资产的参与度。

(图片来自：tuchong.com)

自动做市商（AMM），这一由Hanson为预测市场提出的对数市场评分规则（LMSR）所普及的概念，现在已经成为了去中心化金融（Defi）的重要组成部分（通常被称为“原语”）。而一个特别有用的原语，是测量资产价格的能力，这一问题通常被称为预言机（oracle）定价问题。在本文中，我们专注于分析非常大的一类自动做市商，即恒定函数做市商（CFMM），其中包括了Uniswap、Balancer等目前市场上最受欢迎的AMM项目。

此外，研究还获得了其他一些有用的性质，包括在路径独立的情况下流动性提供者的回报。

一、介绍

随着原生数字资产的持续激增，加密货币市场对类似传统金融交易机制的需求日益增长。这些数字资产通常包括在线广告展示量、加密货币以及预测市场赌注，而它们通常很复杂，难以与之互动，且普遍存在低流动性的问题。在过去的十年里，有人提出了一些针对自动做市商（AMM）的设计方案，以缓解这种复杂性。AMM鼓励那些对时间偏好较低的被动型参与者，将他们的数字资产借给资产池。然后通过评分规则对资产进行定价，评分规则将按当前的资金池大小映射到一个边际价格。而最流行的评分规则之一，是由Hanson提出的对数市场评分规则（LMSR）。该规则已经在很多在线设置中实现，包括在线广告拍卖、预测市场以及讲师评级市场。

近来，加密货币社区已经构建了替代LMSR（及其对应者）的自动做市商，并将其称为恒定函数做市商（CFMM）。运用恒定函数做市商（CFMM）的例子包括Uniswap的恒定乘积AMM和恒定平均值AMM（constant mean AMM）。恒定函数做市商（CFMM）的大多数应用，皆为去中心化交易所（DEX），这样就可以在不需要可信第三方的情况下交易证券类资产。而DEX用户所关心的一个主要问题是，DEX上的资产价格，是否准确地反映了中心化交易所上的价格，而后者目前拥有了更多的流动性。

如果DEX的价格与外部中心化交易所的价格是匹配的，那么我们说这样的交易所就是一个好的价格预言机，其它智能合约可将其用作基础事实的来源来进行查询。

1、1 预言机问题

而在上面提到的，实施对数市场评分规则（LMSR）的AMM市场中，研究最多且争议最大的应用就是预测市场。由于政府干预的原因，预测市场屡屡被关闭或停止，因此对这些机制的大规模压力测试受到了限制。而智能合约系统的出现（例如以太坊和Tezos），已允许设计和实现去中心化和抗审查的预测市场，比如Augur和Gnosis 就是通过智能合约，将LMSR-AMM部署到以太坊主网的预测市场应用。

然而，在去中心化设置中使用这些预测系统的主要难点，在于查询智能合约外部数据的能力。例如，一旦事件发生，预测西雅图未来天气的预测市场，将需要知道最终的天气报告。而以无需信任的方式来完成这一任务，它是很困难的，正如那些下注失败的参与者会被鼓励去尝试欺骗智能合约，即操纵合约查询的响应。比如这里提到的西雅图天气例子中，如果预测市场开设一个“西雅图的温度是否会大于25摄氏度”的预测游戏，然后，积极押注“否”的恶意参与者，会被激励去操纵查询响应，让最终结果显示为“温度低于25摄氏度”。而在加密货币社区，向区块链提供外部数据的问题，就被称为预言机问题。

1、2 去中心化预言机

从形式上讲，预言机指的是为底层区块链外部提供智能合约数据的任何计算设备。在智能合约预测市场中有两种预言机：中心化预言机和去中心化预言机。

中心化预言机涉及一个可信任的个人或组织，该个人或组织向智能合约提供数据。这类预言机的例子包括Provable/Oraclize、Chainlink、Wolfram Alpha以及MakerDAO预言机。

如果这些预言机被用于决定LMSR预测市场事件，则这些市场仍然要依赖于一个权威机构，需要信任他们不会操纵影响最终结果的数据。而对于高度有价值的市场，比如美国总统大选的预测，通常难以去相信一个人或一个组织，人们更倾向于选择去中心化的预言机。

去中心化的预言机本身是智能合约，它们依赖于用户对特定预测市场结果进行投票。最终结果是通过社会选择功能选择的，类似于使用多数投票或加权多数投票决定选举结果的方式。对于智能合约，社会选择功能通常要复杂得多，因为投票机制需要考虑选民之间的逆向选择，贿赂及串通。为了减少这种预言机操纵的可能性，去中心化的预言机设计通常设有退出游戏或复杂的多方游戏，允许某些用户挑战他们所争论的选票。此外，为了鼓励大量潜在用户参与投票，预测市场智能合约通常会为用户提供奖励。该奖励的发放方式，与加密货币奖励给矿工或验证者的方式类似。这些预言机是很难设计的，因为我们必须要平衡机制的复杂性，并可证明地防御预测市场参与者之间的串通。目前市场上的去中心化预言机包括Augur、Astraea、Gnosis以及UMA。我们注意到，Augur的一个既定设计目标，是将LMSR所隐含的价格用作其它智能合约的预言机输入。例如，如果另一个智能合约依赖于西雅图气温是否高于或低于25摄氏度的概率，那么该合约只需订阅由Augur市场提供的数据和定价。通过这种方式，预测市场智能合约旨在充当可供任意数量链上智能合约访问的链下数据的单一来源。

1、3 去中心化交易所（DEX）

去中心化交易所（DEX）为参与者们提供了一种无需信任中心方，就可进行链上资产交换的方法，同时还提供了一种测量这对资产相对价格的方法。截至目前，大约有1亿美元的数字资产被锁定在DEX中，每天这些DEX的总交易额经常超过了1000万美元。自比特币问世以来，人们一直希望设计出一种安全又去中心化的加密货币交易所，因为像Mt. Gox、Quadriga、Bitfinex这样的中心化交易所，已造成用户损失了价值数十亿美元的数字资产。

截至目前，不同的去中心化交易所（DEX）会使用不同的机制，从经典的订单簿机制到其它更为复杂的情况。然而，，这个在定价机制理论及实践上都相对简单的自动做市商（AMM），却异军突起，这可以从其市场中大量的交易量及总资金储备中看出。这使得Celo等协议使用了Uniswap机制作为一种价格预言机，以衡量两种资产的相对价格。

（注：Uniswap依靠以太坊基金会发放的10万美元补助金就推出了产品，相比之下，0x和Bancor分别在ICO活动中获得2400万美元和1.53亿美元，而目前的情况是，Uniswap的流动性是0x和Bancor总和的5-10倍）

图1: 2020年2月12日，使用恒定函数做市商（红色）和基于LMSR自动做市商（蓝色）协议的市场规模对比。其中恒定函数做市商（CFMM）合约持有的数字资产为1.297亿美元，而LMSR自动做市商（LMSR AMM）持有的资产为72.1万美元（数据来自DeFi Pulse）

1、4 Uniswap模式的扩散

Uniswap成功所需要的资源，远远少于其他竞争性DEX，这激发了更多的恒定函数做市商（CFMM）产品。首先自然要问的一个问题是，Uniswap的恒定乘积公式是否适合所有类型的资产。例如，具有共同平均价格但波动性不同的资产，使用Uniswap联合曲线可能会造成损失太大的问题。

这类资产的一个例子是稳定币，这些数字资产与法定货币（例如美元）挂钩，它们自然在1美元左右波动，但往往是在[1−e, 1+e]的范围内波动（e>0）, 这些稳定币资产的波动是由其自然需求来源决定的，并且可以有很大的变化，例如，委内瑞拉的稳定币，其需求特征可能与中国的稳定币不同。为了激励交易者，曲线应该在两个稳定币接近1美元时收取较低的费用，而在稳定币偏离1美元时收取较高的费用。这种方法已经在Curve/StableSwap中实现，它们使用了一个计分规则，其曲率在1美元附近趋于平缓，并且随着币彼此之间的交易而呈抛物线形（见图2）。

图2 ：StableSwap/Curve和Uniswap评分规则的比较。资产x相对于资产y的价格，可视为曲线的斜率。当价格接近1美元（虚线）时，StableSwap的曲线更平滑，这使得稳定币在接近其平均值时可以便宜地进行交易。

1、5 多币（资产）CFMM产品

Uniswap评分规则的另一种变体，涉及同时为多种资产定价。这些评分规则不提供与两个资产数量有关的评分规则，而是能够根据一组n个其他资产对m个资产进行定价。这允许用户将资产组合交换为其他组合，从而减少网络必须处理的交易数。而Uniswap的多资产变体产品（如），可原子性地执行这样的交易，从而减少费用和价格滑落。而评分规则的选择，会影响套利者保持投资组合价格与基础组成部分价格同步的容易程度。

虽然这一机制看似是原创出来的，但也有一些来自传统金融的类似资产例子，这些资产涉及将一篮子货物换成其他一篮子货物。例如，交易所交易基金（ETF）是一种单一的股票工具SE，它代表一组加权的股票S1, . . . , Sn，其中，

目前全球有超过5万亿美元的资产被锁定在ETF当中。如果有任何股票价格Si发生变化，导致SE定价错误，套利者就可以进行创造-赎回套利，这种套利的两个步骤分别是创建和赎回。

而Uniswap的多资产泛化产品（比如Balancer），就可以在不需要可信中介（如ETF承销商）的情况下精确地进行此类套利。

注：在论文的第二部分，研究者给出了在两种币（two-coin）的情况下，恒定函数做市商（CFMM）的一个数学上简单但相对完整的描述。

在论文的第三部分，研究者对n种币的情况给出了一个完整的，但更数学化的概括，从而得出了一个近乎完备的，对在实践中似乎有用的所有恒定函数做市商的描述。通过这些，论文为更大类别的评分规则成为有效的做市商，提供了充分必要的条件。在路径无关的CFMM情况下，这些归纳还导致了流动性提供者回报的简单表达式。

（有兴趣的可以阅读原论文）

四、关于恒定函数做市商（CFMM）的讨论及未来工作

4、1 交易费用

我们可以很容易地将交易费用引入任何给定的恒定函数做市商（CFMM）。一种非常简单但有效的办法（例如Uniswap采用的），是对输入交易收取费用。对于一个恒定函数做市商（CFMM）的交易函数，我们可以写一个新的带有费用常数（0 < γ ≤ 1）的交易函数f ：

对于所有储备R，输入∆，以及输出∧，其中 (1 − γ)是所需的百分比费用。在这种情况下，交易者需要投入输入∆ 的1/γ以上，才能进行交易。此外，这将使与路径无关的恒定函数做市商（CFMM）变成了路径缺陷型。 还有几种可能的方法，其中一些方法可能包括可变的输入或输出费用。研究表明，关于恒定函数做市商（CFMM）的收费方法可以有很多种，而每种方法都有自己有用的特性，而它们都有适用的类别，以用于将来可能的应用。

4、2 关于CFMM和LMSR的比较

尽管大家很想比较恒定函数做市商（CFMM）与经典算法博弈论自动做市商和评分规则（比如Hanson的LMSR），但我们注意到，在这篇论文所使用的框架下，似乎没有一种简单的方法可以做到这一点。

这里的想法是，任何可以比较两者的框架，都需要对市场价格动态作出假设，即当前市场价格可能会对未来市场价格作出什么样的评价，而我们在任何时候都没有进行假设。关于这两种方法的对比框架，我们留给未来的研究工作。

五、总结

自动化做市商（AMM）的使用，引发了一系列新的评分规则和定价机制。从优化的角度分析这些机制，从基于对数市场评分规则（LMSR）到基于恒定函数做市商（CFMM），再到基于利率评分规则，可以洞悉出某些机制为何比其他机制更受欢迎。

研究证明了，恒定函数做市商（CFMM）为套利者提供了一个简单的优化，以同步链下和链上定价数据。

这种概括涵盖了所有有效的恒定函数做市商（CFMM），并提供了有关如何设计更适合某些资产类型和波动性的恒定函数做市商（CFMM）指南。考虑到外部价格供给的波动性，需要对CFMM进行进一步的工作以联系如何选择最佳评分规则。如StableSwap / Curve的示例所示，调整规则的曲率，可以提高性能和不同资产的参与度。