DeFi流动性挖矿大热，参与Balancer前你应该知道这些概念

作者：洒脱喜

写在前面：

随着近期Compound治理代币COMP的大热，Defi“流动性挖矿”潮正式来临，而同样备受市场期待，又有着高级版uniswap之称的，也即将迎来自己的治理代币挖矿。而在参与Balancer的流动性挖矿之前，你需要对几个概念有所了解，一是如何计算Balancer储备池的值，二是计算无常损失，最后则是关于滑点的计算，对于这些，Balancer首席执行官Fernando Martinelli将为我们一一道来。

如果你有曾读过，那你可能会觉得，要理解所有涉及到的数学知识会让人感到畏惧。幸运的是，大多数复杂的偏导数和证明，对于理解和使用协议而言其实是不必要的。一个简单的不变量（我们称之为值函数）确保了Balancer资产储备池具有的所有有趣的自平衡属性：

其中Bi 和Wi分别是代币余额和权重。

Balancer储备池的值

一个Balancer储备池，可以由多达8种不同的ERC20代币组成，并且每种代币都有自己任意的权重。这个权重表示储备池在任何时候，应在每个代币中保持的值的百分比。只要市场上有活跃的理性套利者，且池的费用很低，则储备池持有的每个代币的价值百分比，预计总是非常接近池的权重。 （关于高收费Balancer池的情况，请看这篇）

在低费用的情况下，只要任何一个代币相对于另一个代币有价格变化，套利者就会受到激励，以使代币之间的资产池价值分配，恢复到原始预定义权重。

为每个代币灵活选择权重的有趣效果是，储备池流动性提供者（LP），可以控制他们希望对每种资产承担的风险水平。例如，如果他们看好MKR（相对于ETH），他们可以选择向MKR权重高、ETH权重低的储备池中添加流动性。如果不存在这样的储备池，他们也可以自己创建一个。这样，当MKR相对于ETH上升时，他们将获得MKR的大部分上行空间。

当然，这一优势并不等同于持有100%的MKR，但它将比在MKR和ETH之间拥有50/50的储备池要好得多。下面的截图，显示了在实践中的情况。

在向Balancer储备池提供流动性时，你可能会问的一些关键问题是：

1. 在基础代币的价格全部改变之后，是否有一种方法可以概括计算出Balancer储备池的值？
2. 如果MKR的价格翻倍，且ETH保持不变，那么持有75％MKR和25％ETH（类似于上面的截图）的储备池的价值将增加多少？
3. 如果权重为10％的代币价格下跌80%，那么储备池损失是多少？

一个非常简单的公式，可以为以上所有问题提供答案。Balancer池的值（例如以USD计算），根据其每个基础代币的同一参考的（USD）价格变化而变化：

其中

是代币i的美元价格变化，而

是代币i的权重。

这个方程的长形式证明，可以在我们网站上的中找到。

有了这个公式，我们就可以轻松回答上面提到的问题，请注意，无论代币的权重如何，不变的代币价格都不会影响储备池的值（ΔP_usd^w = 1^w = 1），无论这些代币的权重如何。所以我们有：

1. 如果MKR的代币价格翻番，75%MKR和25%ETH的储备池的总价值将增加68.2%（=2^0.75=1.682），而一个50/50比例储备池的总价值则增加41.4%（=2^0.5=1.414）。
2. 如果一个储备池中某个代币的权重为10%，且其价格崩盘80%（或ΔP_usd = 0.2），那么这个储备池的总价值只会下降约15%（=0.2^0.1=0.8513）。

流动性提供者的无常损失（IL）

“无常损失”一词在Pintail的文章推出后被广泛传播。如果你之前从未听过这个词，可以阅读下Pintail写的关于Uniswap储备池回报的。

根据定义，无常损失（IL）描述的是这样一种损失：在储备池中的资产，较这些资产在池外的情况下损失的百分比，用公式来表达便是：

上面这个公式考虑的是0费用的储备池情况。不含费用的Balancer价值函数与路径无关（也就是说，交易顺序不会更改池的最终状态）。这意味着，如果流动性提供者（LP）在移除其所有相关代币的流动性时，代币的价格与增加流动性时相同，则无常损失将为零：他们将拥有与其投资的代币数量完全相同的代币。

在等式中加上费用，流动性提供者（LP）的最终美元收益将是累计费用（以总储备池值的百分比计），减去无常损失。

我们可以使用以下定义来更改池中持有价值的变化，来扩展上述无常损失的公式：

为了说明这个公式，我们举个例子，例如，假设一个篮子投资组合中，有一个权重为50%的代币，而它的价格翻了一番。那么这个篮子投资组合的总价值将增加50%，或1.5倍（=1*50%+2*50%=1.5）。换言之，假设我最初持有500美元的代币A和500美元的代币B，两者总共1000美元。如果代币B的价值翻倍，那么我就持有了500美元的代币A和1000美元的代币B，总计1500美元（即总价值增加了50%）。

如上面所述，无常损失也可以用储备池值和持有池的变化来表示：

因此，替换上面的公式，就可以得出Balancer池中无常损失的最终表达式：

请注意，由于值函数的凸性，无常损失将始终为零或负数。这可能导致一种混淆，即负损失被解释为收益。事实并非如此：无常损失（IL）总是负的真正含义是，代币价格的任何相对变化，总是会导致一些短暂损失。

Balancer储备池的滑点

根据定义，滑点是指交易中，实际支付价格相对于现货即期价格的百分比变化。

在存在费用的Balancer储备池中，即期价格的定义如下（请注意，从这里开始，i是指输入代币，即交易者发送/出售给储备池的代币）：

根据定义，交易的有效价格是交易者出售的金额（amountIn）除以他们获得的其他代币金额（amountOut）的比率：

使用我们白皮书中得出的amountOut公式，我们可以将其重写为：

请注意，即使我们处理的是用户定义要出售的金额（amount in）的交易，也可以在用户定义要购买的金额（amountOut）时进行以下整个推导，详见下一部分内容。

我们可以将滑点定义为有效价格超过即期价格的百分比。这是关于交易金额（Ai）的一个函数，因为它会影响有效价格：

因此，如果一笔交易的有效价格是102，而即期价格是100，那么滑点就是2%。

在Balancer中，滑点并不是线性的：它随着交易量的增加而增长得更快。不过，作为一个近似值，我们可以线性化小额交易的滑点。下图以蓝色显示了增加数量的有效价格，以橙色表示的是有效价格的线性化（所有数字都是虚拟的）：

这种线性化对于许多算法优化（包括我们的智能顺序router （SOR））非常有用。

通过线性化，我们可以将滑点重写为交易金额的线性函数：

滑动斜率（SL）只是上面在Ai = 0时定义的滑动公式的导数。可以用不同的方法来计算，但最终的解决方案是：

滑点计算实例

以一个70% AST / 30% WETH 的储备池为例。在撰写本文时，该储备池有414.7万AST和491 WETH:

让我们用上面导出的公式，来计算一笔交易会导致这个储备池的滑点。这里设置的费用是0.0099 (0.99%), Bi 是出售给储备池的代币余额（491 WETH），Wi是出售给储备的代币权重（0.3），wo是从池中购买代币的权重（0.7）。所以这个储备池的线性滑点公式是：

用WETH交易AST的线性滑点可以写成：

也就是说，如果我们要交易1 WETH，那么预计就会有0.14%的价格下滑。这正是我们在balancer.exchange上进行模拟交易时得到的结果：

另一种情况的滑点：

为了完整性起见，让我们推导出购买一种代币时，即amountOut（Ao）的滑点公式。公式非常相似，我们从相同的有效价格公式开始：

但这一次我们将 Ai扩展为Ao的函数，正如我们白皮书中得出的：

滑点可以写成Ao的函数：

线性化为：

求导数，我们有：

有趣的是，正如人们所期望的那样，滑点在Balancer储备池中是对称的。也就是说，如果一个参与者相对于储备池的大小进行了少量的交易，那么其交易的方向（从代币a到代币b，或者从代币b到代币a）应该无关紧要：对于所交易的相同价值，以%表示的滑点应该是相同的。这可以在实践中观察到，因为针对Ao和针对Ai计算的滑动斜率，在交易的每价值百分比上相同，只是以不同的单位表示。SLi是每Ai交易的百分比，SLo是每Ao交易的百分比：